Unique number বা অদ্বিতীয় সংখ্যা আসলে কি?

Unique number বা অদ্বিতীয় সংখ্যা কি জিনিস তার সংঙ্গা লিখতে গেলে খুব একটা শ্রুতিমধুর হবে না। তবুও এভাবে লেখা যেতে পারে- শুধুমাত্র ক্রমিক অংক বিশিষ্ট কোনো একটি সংখ্যা এবং তার রিভার্স সংখ্যার ব্যবধানই হচ্ছে Unique number। একটি উদাহরণ দিলেই বুঝা যাবে বিষয়টি।

উদাহরন ১:

দুইটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা ৪৫। এবার ৪৫-কে উলটে লিখলে পাওয়া যাবে ৫৪। এখন (৫৪-৪৫) = ৯।

দুইটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট যে কোনো সংখ্যার জন্যই ৯ হচ্ছে Unique number, কারণ দুইটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট যে কোনো সংখ্যার ব্যবধানই হবে এই ৯। আরেকটি উদাহরন দেখেন……

উদাহরন ২:

দুইটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা ৮৯। এবার ৮৯-কে উলটে লিখলে পাওয়া যাবে ৯৮। এখন (৯৮-৮৯) = ৯।

দুইটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট সংখ্যার ক্ষেত্রে Unique number যে ৯ সেটা আমরা বুঝে পেলাম, কিন্তু তিনটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট সংখ্যার ক্ষেত্রেও কি এরকম Unique number রয়েছে?? চলুন দেখি তেমন কিছু খুঁজে পাওয়া যায় নাকি।

উদাহরন ৩:

তিনটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট যেকোনো একটি সংখ্যা ১২৩। এবার ১২৩-কে উলটে লিখলে পাওয়া যাবে ৩২১। এখন (৩২১-১২৩) = ১৯৮।

আরেকটি সংখ্যা নিয়ে পরীক্ষাটি করে দেখি ১৯৮ই পাওয়া যায় কিনা।

উদাহরন ৪:

তিনটি ক্রমিক অংক যেকোনো একটি সংখ্যা ৬৭৮। এবার ৬৭৮-কে উলটে লিখলে পাওয়া যাবে ৮৭৬। এখন (৮৭৬-৬৭৮) = ১৯৮। বাহ! চমৎকার, এখানেও ১৯৮ পাওয়া গেলো। তাহলে আমরা বলতে পারি তিনটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট সংখ্যার ক্ষেত্রে Unique number হচ্ছে ১৯৮।

এবার মনে প্রশ্ন জাগে তিনটি ক্রমিক অংকের চেয়ে বেশি হলে কি হবে?? তাদের ক্ষেত্রেও কি একই রকম কোনো Unique number রয়েছে?? উত্তর হচ্ছে, হ্যাঁ Unique number রয়েছে। নিচে একটি চার্টে এক থেকে দশটি ক্রমিক অংক বিশিষ্ট সংখ্যার Unique number দেখিয়ে দিচ্ছি।

ক্রমিক অংক উদাহরন Unique number

একটি ক্রমিক অংকের সংখ্যা ১ - ১ Un১ = ০

দুইটি ক্রমিক অংকের সংখ্যা ২১ - ১২ Un২ = ০৯

তিনটি ক্রমিক অংকের সংখ্যা ৩২১ - ১২৩ Un৩ = ১৯৮

চারটি ক্রমিক অংকের সংখ্যা ৪৩২১ - ১২৩৪ Un৪ = ৩০৮৭

পাঁচটি ক্রমিক অংকের সংখ্যা ৫৪৩২১ - ১২৩৪৫ Un৫ = ৪১৯৭৬

ছয়টি ক্রমিক অংকের সংখ্যা ৬৫৪৩২১ - ১২৩৪৫৬ Un৬ = ৫৩০৮৬৫

সাতটি ক্রমিক অংকের সংখ্যা ৭৬৫৪৩২১ - ১২৩৪৫৬৭ Un৭ = ৬৪১৯৭৫৪

আটটি ক্রমিক অংকের সংখ্যা ৮৭৬৫৪৩২১ - ১২৩৪৫৬৭৮ Un৮ = ৭৫৩০৮৬৪৩

নয়টি ক্রমিক অংকের সংখ্যা ৯৮৭৬৫৪৩২১ - ১২৩৪৫৬৭৮৯ Un৯ = ৮৬৪১৯৭৫৩২

দশটি ক্রমিক অংকের সংখ্যা ৯৮৭৬৫৪৩২১০ - ০১২৩৪৫৬৭৮৯ Un১০ = ৯৭৫৩০৮৬৪২১

উপরের ছকে যেখানে Unique number গুলি দেখানো হয়েছে সেখানে একটু লক্ষ্য করলে দেখা যাবে, প্রতিটি Unique number মিলে চমৎকার একটি মিল তৈরি করেছে নিজেদের মাঝে। মিলটি কি আপনার চোখে পরেছে?

১। Un৪ থেকে শুরু করে Un১০ পর্যন্ত যেকোনো Unique number এর প্রথম ও শেষ অংকের যোগফল হবে ১০।

যেমনঃ Un৯ = ৮৬৪১৯৭৫৩২, এখানে প্রথম ও শেষ অংকের যোগফল (৮+২) = ১০।

২। Un৪ থেকে Un১০ পর্যন্ত যেকোনো Unique number এর প্রথম আংক হবে (Un - ১)।

যেমনঃ Un৯ = ৮৬৪১৯৭৫৩২, এখানে প্রথম অংক হচ্ছে ৮, আর (Un৯ - ১) = (৯ - ১) = ৮।

৩। Un৪ থেকে Un১০ পর্যন্ত যেকোনো Unique number এর প্রথম ও শেষ অংক ফেলে দিলে তা অবশ্যই {U(n - ২) - (১)}হবে।

যেমনঃ Un৯ = ৮৬৪১৯৭৫৩২, এখানে প্রথম ও শেষ অংক ফেলে দিলে পাই ৬৪১৯৭৫৩। আর

{U(n৯ - ২) - (১)} = {Un৭ - (১)} = {৬৪১৯৭৫৪ - ১} = ৬৪১৯৭৫৩।

৪। Un৯ Unique number এ ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সকল অংকই একবার করে রয়েছে।

যেমনঃ Un৯ = ৮৬৪১৯৭৫৩২

৫। Un১০ Unique number এ ০ থেকে ৯ পর্যন্ত সকল অংকই একবার করে রয়েছে।

যেমনঃ Un১০ = ৯৭৫৩০৮৬৪২১

Unique number এর আরো একটি মজা এখন আপনাদের সামনে তুলে ধরতে চাই। একটি ছকের মাঝে দেখালেই বরং ভালো লাগবে

Un২ - Un১ = ০৯ - ০ = ০৯

Un৩ - Un২ = ১৯৮ - ০৯ = ১৮৯

Un৪ - Un৩ = ৩০৮৭ - ১৯৮ = ২৮৮৯

Un৫ - Un৪ = ৪১৯৭৬ - ৩০৮৭ = ৩৮৮৮৯

Un৬ - Un৫ = ৫৩০৮৬৫ - ৪১৯৭৬ = ৪৮৮৮৮৯

Un৭ - Un৬ = ৬৪১৯৭৫৪ - ৫৩০৮৬৫ = ৫৮৮৮৮৮৯

Un৮ - Un৭ = ৭৫৩০৮৬৪৩ - ৬৪১৯৭৫৪ = ৬৮৮৮৮৮৮৯

Un৯ - Un৮ = ৮৬৪১৯৭৫৩২ - ৭৫৩০৮৬৪৩ = ৭৮৮৮৮৮৮৮৯

Un১০ - Un৯ = ৯৭৫৩০৮৬৪২১ - ৮৬৪১৯৭৫৩২ = ৮৮৮৮৮৮৮৮৮৯

মজা দেখেন উপরের বিয়োগফলের প্রতিটির ক্ষেত্রেই এককের ঘরে আছে ৯ আর সর্ব বামের ঘরে আছে ০ থেকে ৮ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমে। আরো মজার বিষয় হচ্ছে বিয়োগফলের এই সর্ব বামের ঘরের ০ থেকে ৮ পর্যন্ত অংকগুলি বলে দিচ্ছে সেই সংখ্যায় প্রথম ও শেষ অংকটি বাদে কটি আট আছে। যেমনঃ শূন্য থাকলে বুঝতে হবে সংখ্যাটিতে কোনো আট নেই, আবার ৫ থাকরে বুঝা যাবে ৫টি আট রয়েছে।

আবার যদি এমন করি যে প্রতিটি Unique numberকে উলটে লিখে যে সংখ্যাটি পাওয়া যাবে তাকে সেই Unique numberটির সাথে যোগ করি তাহলে কি কোনো নতুন pattern পাওয়া যাবে!!! আসুন দেখি…..

Reverse Unique number RUn + Un

RUn৩ = ৮৯১ RUn৩ + Un৩ = ১০৮৯

RUn৪ = ৭ ৮০৩ RUn৪ + Un৪ = ১০৮৯০

RUn৫ = ৬৭৯১৪ RUn৫ + Un৫ = ১০৯৮৯০

RUn৬ = ৫৬৮০৩৫ RUn৬ + Un৬ = ১০৯৮৯০০

RUn৭ = ৪৫৭৯১৪৬ RUn৭ + Un৭ = ১০৯৯৮৯০০

RUn৮ = ৩৪৬৮০৩ RUn৮ + Un৮ = ১০৯৯৮৯০০০

RUn৯ = ২৩৫৭৯১৪৬৮ RUn৯ + Un৯ = ১০৯৯৯৮৯০০০

RUn১০ = ১২৪৬৮০৩৫৭৯ RUn১০ + Un১০= ১০৯৯৯৮৯০০০০

আমরা জানি চার অংক বিশিষ্ট Kaprekar Constant হচ্ছে K৪ = ৬১৭৪। আর একে উলটে লিখলে RK৪ = ৪৭১৬। এবার যদি এদের যোগ করি তাহলে (K৪ + RK৪) = (৬১৭৪ + ৪৭১৬) = ১০৮৯০।

নিচে Kaprekar Constant সম্পর্কে আলোচনা করা হল।

মজার বিষয় হচ্ছে আমাদের Unique number এর ক্ষেত্রে (Un৪ + RUn৪) = (৩০৮৭ + ৭ ৮০৩) = ১০৮৯০।

একই ভাবে (K৩ + RK৩) = (৪৯৫ + ৫৯৪) = ১০৮৯। আর (Un৪ + RUn৪) = (১৯৮ + ৮৯১) = ১০৮৯।

মজার ব্যাপার তাই না!!

এর জন্য আমরা এই রিলেশনসিপকে দেখাতে পারি (Un + RUn) = (Kn + RKn)

 
Kaprekar Constant কি?

প্রথম ধাপঃ চার অংকের এমন একটি সংখ্যা নিন যার কমপক্ষে দুটি অংক ভিন্ন।

যেমনঃ ৫৫১৯

দ্বিতীয় ধাপঃ এবার এই চারটি অংক দিয়ে বৃহত্তম থেকে ক্ষুদ্রতম অংকগুলি সাজিয়ে একটি সংখ্যা তৈরি করুন, এবং ক্ষুদ্রতম থেকে বৃহত্তম অংকগুলি সাজিয়ে আর একটি সংখ্যা তৈরি করুন।

যেমনঃ ৯৫৫১ ও ১৫৫৯

তৃতীয় ধাপঃ এবার এই সংখ্যাদুটি মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি থেকে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি বিয়োগ করুন।

যেমনঃ (৯৫৫১ - ১৫৫৯) = ৭৯৯২

এবার আবার বার বার ২য় ও ৩য় ধাপের কাজগুলো করতে থাকুন। খুব শিগ্রই আপনি ৬১৭৪ পেয়ে যাবেন। আর একবার এখানে এলেই দেখবেন বারবারই ৬১৭৪ কেই পাচ্ছেন। দেখুন তাহলে.....

৯৯৭২ - ২৭৯৯ = ৭১৭৩

৭৭৩১ - ১৩৭৭ = ৬৩৫৪

৬৫৪৩ - ৩৪৫৬ = ৩০৮৭

৮৭৩০ - ০৩৭৮ = ৮৩৫২

৮৫৩২ - ২৩৫৮ = ৬১৭৪

৭৬৪১ - ১৪৬৭ = ৬১৭৪

মজা তাই না!

আরেকটি উদাহরণ দেখুনঃ ৪২৩৫

৫৪৩২ - ২৩৪৫ = ৩০৮৭

৮৭৩০ - ০৩৭৮ = ৮৩৫২

৮৫৩২ - ২৩৫৮ = ৬১৭৪

৭৬৪১ - ১৪৬৭ = ৬১৭৪।

এভাবে যে কোনো চার অংকের সংখ্যাকেই বেছে নিতে পারেন এবং সর্বচ্চ সাতবার বিয়োগ করলেই আপনি আমাদের এই আশ্চর্য সংখ্যা ৬১৭৪কে পেয়ে যাবেন। আশ্চর্য এই সংখ্যাটি গণিতের জগতে “Kaprekar's constant” নামে পরিচিত। আর এই যে বৃহত্তম সংখ্যা থেকে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি বিয়োগ করছি তাকে বলে- “Kaprekar's operation”। এখানে আরেকটি মজার বিষয় হচ্ছে- Kaprekar's operation করে আমরা যে চার অংকের সংখ্যা পাই তা অবশ্য- অবশ্যই ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

যেমনঃ (২য় উদাহরণ থেকে ) ৩০৮৭÷৯ = ৩৪৩, ৮৩৫২÷৯ = ৯২৮, ৬১৭৪÷৯ = ৬৮৬ ইত্যাদি।

(সকল প্রকারের অনিচ্ছাকৃত ভুল ও অপারদর্শিতা হেতু অস্বচ্ছতার জন্য ক্ষমা চেয়ে নিচ্ছি। গুণীজন নিজ গুণেই আমার ভুলগুলি ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন এ আশাই রইলো। ধন্যবাদ, ভালো থাকবেন সকলে।)